Matematikte sayı kümeleri (doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, reel sayılar gibi) belirli bir sıraya göre dizilmiştir. Bu sıralama, sayı doğrusu üzerinde küçükten büyüğe doğru ilerler.
Örneğin:
Bu kümelerde herhangi iki sayı alındığında, biri diğerinden kesinlikle küçük veya kesinlikle büyük olur. Örneğin, \( 3 < 5 \) veya \( -1 > -4 \).
Herhangi iki farklı sayı arasında sonsuz sayıda başka sayı bulunabilir. Bunu şu şekilde açıklayabiliriz:
Bu durum, sayı kümelerinin yoğun yapıda olduğunu gösterir. Özellikle reel sayılar için, iki sayının arası her zaman doludur.
Soru: \( 1 \) ile \( 2 \) arasında üç tane rasyonel sayı yazınız.
Çözüm: İki sayının aritmetik ortalaması alınarak yeni sayılar bulunabilir:
Sonuç: \( 1{,}25 \), \( 1{,}5 \) ve \( 1{,}75 \) sayıları \( 1 \) ile \( 2 \) arasındadır.
Soru 1: Aşağıdaki sayı kümelerinden hangisi sıralı bir küme değildir?
a) \( \mathbb{N} \) (Doğal sayılar)
b) \( \mathbb{Z} \) (Tam sayılar)
c) \( \mathbb{Q} \) (Rasyonel sayılar)
d) \( \mathbb{R} \) (Reel sayılar)
e) \( \mathbb{C} \) (Karmaşık sayılar)
Cevap: e) \( \mathbb{C} \) (Karmaşık sayılar)
Çözüm: Karmaşık sayılar kümesi (\( \mathbb{C} \)) sıralı değildir çünkü karmaşık sayılar arasında "büyüklük-küçüklük" ilişkisi tanımlı değildir.
Soru 2: \( \sqrt{2} \) ile \( \sqrt{3} \) arasında kaç tane rasyonel sayı vardır?
a) 0
b) 1
c) Sonlu sayıda
d) Sonsuz sayıda
e) Belirsiz
Cevap: d) Sonsuz sayıda
Çözüm: Herhangi iki irrasyonel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı bulunur (Yoğunluk özelliği).
Soru 3: \( a = 0,\overline{9} \) ve \( b = 1 \) sayıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) \( a < b \)
b) \( a > b \)
c) \( a = b \)
d) \( a \) ve \( b \) karşılaştırılamaz
e) \( a \) rasyonel değildir
Cevap: c) \( a = b \)
Çözüm: \( 0,\overline{9} = 1 \) eşitliği matematiksel olarak ispatlanabilir (Geometrik seri ile).
Soru 4: \( \frac{1}{3} \) ile \( \frac{1}{2} \) arasındaki bir sayıyı bulmak için aşağıdaki işlemlerden hangisi kullanılabilir?
a) \( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \)
b) \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \)
c) \( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{2} \)
d) \( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \)
e) \( \frac{1}{2} \div \frac{1}{3} \)
Cevap: c) \( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{2} \)
Çözüm: İki sayının aritmetik ortalaması her zaman bu sayılar arasında bir değer verir. Bu durumda \( \frac{5}{12} \) elde edilir.
1. Sayı kümeleri arasında sıralama yapılırken, \( \mathbb{N} \) ⊂ \( \mathbb{Z} \) ⊂ \( \mathbb{Q} \) ⊂ \( \mathbb{R} \) şeklinde bir _______ ilişkisi vardır.
2. İki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda _______ sayı bulunabilir.
3. \( \sqrt{2} \) sayısı _______ kümesine ait olup \( \mathbb{Q} \) kümesine ait değildir.
4. Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. (D/Y)
5. İki irrasyonel sayı arasında her zaman bir rasyonel sayı bulunur. (D/Y)
6. \( \mathbb{R} \) kümesindeki her eleman sıralıdır. (D/Y)
7. ___ Negatif olmayan tam sayılar kümesi
8. ___ Kesirli ifadelerin kümesi
9. ___ Köklü ifadelerin tamamını içeren küme
10. \( \frac{1}{3} \) ve \( \frac{1}{2} \) sayıları arasında bulunan bir rasyonel sayı yazınız.
11. \( \sqrt{3} \) ve \( \sqrt{5} \) sayıları arasındaki bir irrasyonel sayı örneği veriniz.
12. Sayı doğrusunda \( -2 \) ile \( 3 \) arasında kaç tam sayı olduğunu bulunuz.
13. Aşağıdakilerden hangisi \( \mathbb{Q} \) kümesine ait değildir?
a) 0.75 b) \( -\frac{4}{5} \) c) \( \pi \) d) 2
14. Hangisi \( \mathbb{R} - \mathbb{Q} \) kümesinin elemanıdır?
a) \( \sqrt{9} \) b) \( \sqrt{10} \) c) \( \frac{0}{1} \) d) -5
15. \( a < b \) olmak üzere, \( a \) ve \( b \) arasındaki sayılar için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
a) \( \frac{a+b}{2} \) her zaman aradadır. b) Sonsuz çoklukta sayı vardır. c) Yalnızca sonlu sayıda tam sayı bulunur. d) Hem rasyonel hem irrasyonel sayılar olabilir.
Cevaplar:
1: alt küme, 2: rasyonel, 3: \( \mathbb{R} \), 4: D, 5: D, 6: D, 7: A, 8: C, 9: D, 10: \( \frac{5}{12} \) (örnek), 11: \( \sqrt{4.1} \) (örnek), 12: 4, 13: c, 14: b, 15: c
