9. Sınıf Özdeşliklerin Cebirsel ve Geometrik Temsilleri Nedir?

Özdeşliklerin Cebirsel ve Geometrik Temsilleri

Özdeşlik, değişkenlerin tüm değerleri için doğru olan matematiksel eşitliklerdir. Cebirsel ve geometrik olarak farklı şekillerde temsil edilebilirler.

Cebirsel Temsiller

Özdeşlikler, cebirsel ifadelerle gösterilir. En temel özdeşliklerden bazıları:

• Kare Açılımı: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• Farkın Karesi: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
• İki Kare Farkı: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

Bu eşitlikler, herhangi bir \(a\) ve \(b\) değeri için geçerlidir.

Geometrik Temsiller

Özdeşlikler, alan hesaplamalarıyla geometrik olarak da gösterilebilir:

• \((a + b)^2\) Özdeşliği: Kenar uzunluğu \(a + b\) olan bir kare, dört farklı dikdörtgensel bölgeye ayrılarak ispatlanabilir.
• İki Kare Farkı: Büyük bir kareden (\(a^2\)) küçük bir kare (\(b^2\)) çıkarılıp kalan alan iki dikdörtgenin birleşimi olarak gösterilebilir.

Örnek: \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\) özdeşliği, bir kenarı \(x + 3\) olan karenin alanının parçalara ayrılmasıyla görselleştirilebilir.

9. Sınıf Özdeşliklerin Cebirsel ve Geometrik Temsilleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki şekilde bir kenar uzunluğu \( (x + 3) \) birim olan karenin alanı, iki dikdörtgenin alanları toplamına eşittir. Bu dikdörtgenlerden birinin kenar uzunlukları \( x \) ve \( 3 \) birim, diğerinin kenar uzunlukları \( x \) ve \( x \) birimdir. Buna göre, bu durumu ifade eden özdeşlik aşağıdakilerden hangisidir?

a) \( (x + 3)^2 = x^2 + 3x \)
b) \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \)
c) \( (x + 3)^2 = 3x^2 + 9 \)
d) \( (x + 3)^2 = x^2 + 9x \)
e) \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x \)

Cevap: b) \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \)
Çözüm: Karenin alanı \( (x + 3)^2 \), dikdörtgenlerin alanları toplamı ise \( x \cdot 3 + x \cdot x = 3x + x^2 \) değildir. Doğru özdeşlik, \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \) şeklindedir (iki terimlinin karesi açılımı).

Soru 2: Bir geometrik modelde, kenar uzunlukları \( (a + b) \) ve \( (a - b) \) olan dikdörtgenin alanı, bir kenarı \( a \) olan kareden bir kenarı \( b \) olan kare çıkarılarak hesaplanıyor. Bu durum hangi cebirsel özdeşliğe karşılık gelir?

a) \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)
b) \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
c) \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
d) \( a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab \)
e) \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

Cevap: a) \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)
Çözüm: Dikdörtgenin alanı \( (a + b)(a - b) \), büyük karenin alanı \( a^2 \), çıkarılan küçük karenin alanı \( b^2 \) olduğundan, özdeşlik "iki kare farkı"dır.

Soru 3: Aşağıdaki şekilde bir kenarı \( (2x + 1) \) birim olan kare, 4 eş dikdörtgen ve bir küçük kareden oluşmaktadır. Küçük karenin alanı 1 birimkare olduğuna göre, dikdörtgenlerden birinin alanını veren ifade hangisidir?

a) \( x \)
b) \( 2x \)
c) \( x^2 \)
d) \( 4x \)
e) \( x + 1 \)

Cevap: b) \( 2x \)
Çözüm: \( (2x + 1)^2 = 4 \cdot \text{(dikdörtgen alanı)} + 1 \) şeklinde modellenir. Açılım yapılırsa: \( 4x^2 + 4x + 1 = 4A + 1 \). Buradan \( A = x^2 + x \) değil, her dikdörtgenin alanı \( x \) değildir. Dikdörtgenlerin birinin alanı \( 2x \) birimkaredir (modellemede kenar dağılımına göre).

9. Sınıf Özdeşliklerin Cebirsel ve Geometrik Temsilleri Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. \( (a + b)^2 = a^2 + \underline{\hspace{1cm}} + b^2 \)

2. \( a^2 - b^2 = (a - b)(\underline{\hspace{1cm}}) \)

3. \( (x + 3)^2 = x^2 + \underline{\hspace{1cm}} + 9 \)

Eşleştirme

• A) \( (a + b)^2 \)
• B) \( (a - b)^2 \)
• C) \( a^2 - b^2 \)

Eşleştirin:

• 1) \( a^2 - 2ab + b^2 \)
• 2) \( (a + b)(a - b) \)
• 3) \( a^2 + 2ab + b^2 \)

Doğru/Yanlış

1. \( (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \) (D/Y)

2. \( (a - 5)^2 = a^2 - 10a - 25 \) (D/Y)

3. \( x^2 - 16 = (x - 4)^2 \) (D/Y)

Açık Uçlu Sorular

1. \( (3a + 2b)^2 \) ifadesini açınız.

2. \( 4x^2 - 9y^2 \) ifadesini çarpanlarına ayırınız.

3. Bir kenarı \( (x + 4) \) birim olan karenin alanını cebirsel olarak ifade ediniz.

Kısa Test

1. \( (x + 5)(x - 5) \) işleminin sonucu nedir?

a) \( x^2 - 10 \)

b) \( x^2 - 25 \)

c) \( x^2 + 25 \)

2. \( (2a - 3)^2 \) ifadesinin açılımı hangisidir?

a) \( 4a^2 - 6a + 9 \)

b) \( 4a^2 - 12a + 9 \)

c) \( 4a^2 + 12a + 9 \)

Cevaplar:

1: 2ab

2: a + b

3: 6x

A-3, B-1, C-2

1: D, 2: Y, 3: Y

1: \( 9a^2 + 12ab + 4b^2 \)

2: \( (2x - 3y)(2x + 3y) \)

3: \( x^2 + 8x + 16 \)

1: b, 2: b