9. Sınıf Gerçek Sayı Aralıklarının Gösteriminde ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Küme Sembol ve İşlemleri Nedir?

Gerçek Sayı Aralıklarının Gösterimi

Gerçek sayı aralıkları, belirli bir sayı kümesinin alt ve üst sınırlarıyla ifade edilir. Bu aralıklar kapalı aralık, açık aralık veya yarı açık aralık şeklinde olabilir.

• Kapalı Aralık [a, b]: a ve b dahil tüm sayıları içerir. Örnek: \([3, 5] = \{x \mid 3 \leq x \leq 5\}\)
• Açık Aralık (a, b): a ve b hariç tüm sayıları içerir. Örnek: \((2, 7) = \{x \mid 2 < x < 7\}\)
• Yarı Açık Aralık [a, b) veya (a, b]: Bir uç kapalı, diğer uç açıktır. Örnek: \([1, 4) = \{x \mid 1 \leq x < 4\}\)

Sonsuzluk İçeren Aralıklar

Sonsuzluk (\(\infty\)) kullanılarak sınırsız aralıklar tanımlanabilir:

• \((a, \infty) = \{x \mid x > a\}\)
• \((-\infty, b] = \{x \mid x \leq b\}\)

Aralıklarla İlgili Küme İşlemleri

Kümelerde olduğu gibi aralıklarda da kesişim (\(\cap\)), birleşim (\(\cup\)) ve fark (\)) işlemleri yapılabilir.

Kesişim (\(\cap\))

İki aralığın ortak elemanlarını verir.

• \([2, 5] \cap [3, 7] = [3, 5]\)
• \((1, 4) \cap [3, 6) = [3, 4)\)

Birleşim (\(\cup\))

İki aralığın tüm elemanlarını birleştirir.

• \([1, 3] \cup [2, 5] = [1, 5]\)
• \((-\infty, 2) \cup [1, \infty) = \mathbb{R}\) (Tüm gerçek sayılar)

Fark (\)

Bir aralığın diğerinde olmayan elemanlarını verir.

• \([1, 5] \setminus [3, 7] = [1, 3)\)
• \((0, 4) \setminus [2, 3] = (0, 2) \cup (3, 4)\)

Önemli Notlar

• Aralık gösteriminde köşeli parantez \([ ]\) sınırın dahil olduğunu, normal parantez \(( )\) ise dahil olmadığını belirtir.
• Kesişim boş küme ise iki aralık ortak eleman içermez. Örnek: \([1, 2) \cap (3, 4] = \emptyset\)
• \(\infty\) ve \(-\infty\) hiçbir zaman kapalı aralıkta kullanılmaz (örn. \([\infty, 5]\) geçersizdir).

9. Sınıf Gerçek Sayı Aralıklarının Gösteriminde ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Küme Sembol ve İşlemleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( A = [2, 5) \) ve \( B = (3, 7] \) kümeleri veriliyor. \( A \cap B \) kümesinin gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

a) \([2, 7]\)
b) \((3, 5)\)
c) \([3, 5)\)
d) \((2, 7]\)
e) \([2, 5]\)

Cevap: c) \([3, 5)\)
Çözüm: \( A \cap B \), her iki kümede de ortak olan elemanları içerir. \( A \)'da 3 dahil değilken \( B \)'de 3 dahil değildir (ancak 3'ten büyük değerler kesişir). 5 ise \( A \)'da dahil değil, \( B \)'de dahildir. Bu nedenle kesişim aralığı \([3, 5)\) olur.

Soru 2: \( C = (-\infty, 4] \) ve \( D = [1, 6) \) kümeleri veriliyor. \( C \cup D \) kümesinin gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

a) \((-\infty, 6)\)
b) \([1, 4]\)
c) \((-\infty, 6]\)
d) \([-1, 6)\)
e) \((-\infty, \infty)\)

Cevap: a) \((-\infty, 6)\)
Çözüm: Birleşim kümesi, her iki kümenin tüm elemanlarını kapsar. \( C \)'de 4 dahilken \( D \)'de 6 dahil değildir. En geniş aralık \(-\infty\)'dan başlayıp 6'ya kadar (6 hariç) devam eder.

9. Sınıf Gerçek Sayı Aralıklarının Gösteriminde ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Küme Sembol ve İşlemleri Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. \( (2, 5] \) aralığında bulunan en küçük tam sayı ____, en büyük tam sayı ____'dir.

2. \( A = [-3, 4) \) ve \( B = (1, 6] \) kümeleri verildiğinde, \( A \cap B \) kümesinin aralık gösterimi ____ şeklindedir.

3. \( (-\infty, 0) \cup [2, \infty) \) kümesinin eşitsizlik gösterimi ____ şeklindedir.

Eşleştirme

• A. \( [1, 5) \)
• B. \( (-\infty, -2] \)
• C. \( \{x \mid x \geq 3\} \)
• D. \( (0, 4) \cap [2, 5] \)

1. ____ \( [2, 4) \) aralığına karşılık gelir.

2. ____ \( [3, \infty) \) aralığına karşılık gelir.

Doğru/Yanlış

1. \( (3, 7] \cup [7, 9) = (3, 9) \) ifadesi doğrudur. (D/Y)

2. \( [-1, 4) \cap (2, 5] = (2, 4) \) ifadesi yanlıştır. (D/Y)

3. \( (-\infty, 0) \) kümesi negatif gerçek sayıları içerir. (D/Y)

Açık Uçlu Sorular

1. \( A = [-2, 3) \) ve \( B = (1, 5] \) kümeleri verildiğinde, \( A \setminus B \) kümesini aralık gösterimiyle yazınız.

2. \( \{x \mid -1 < x \leq 4\} \) kümesini parantez ve köşeli parantez kullanarak gösteriniz.

Kısa Test

1. \( (-\infty, 2) \cup [2, \infty) \) kümesinin eşdeğeri aşağıdakilerden hangisidir?

a) \( \emptyset \) b) \( \mathbb{R} \) c) \( \{2\} \) d) \( (-\infty, \infty) \)

2. \( [0, 3] \cap (1, 4) \) işleminin sonucu nedir?

a) \( (1, 3] \) b) \( [0, 4) \) c) \( [1, 3] \) d) \( (1, 3) \)

Cevaplar:

1: 3, 5

2: (1, 4)

3: \( x < 0 \) veya \( x \geq 2 \)

1: D

2: C

1: D

2: D

3: D

1: \( [-2, 1] \)

2: \( (-1, 4] \)

1: b

2: a