9. Sınıf Gerçek Sayı Aralıkları ve Sayı Aralıklarında İşlemler Nasıl Yapılır?

Gerçek Sayı Aralıkları

Gerçek sayı aralıkları, reel sayıların belirli bir kümesini ifade eder. Bu aralıklar, sayı doğrusu üzerinde bir başlangıç ve bitiş noktası ile tanımlanır. Dört temel aralık türü vardır:

• Kapalı Aralık [a, b]: a ve b dahil olmak üzere a ≤ x ≤ b.
• Açık Aralık (a, b): a ve b hariç olmak üzere a < x < b.
• Yarı Açık Aralık [a, b): a dahil, b hariç olmak üzere a ≤ x < b.
• Yarı Açık Aralık (a, b]: a hariç, b dahil olmak üzere a < x ≤ b.

Sayı Aralıklarında İşlemler

Aralıklar üzerinde birleşim, kesişim ve fark gibi işlemler yapılabilir.

1. Birleşim (∪)

İki aralığın birleşimi, her iki aralıktaki tüm elemanları içerir. Örneğin:

• [1, 3] ∪ [2, 5] = [1, 5]
• (-∞, 2) ∪ [0, 4] = (-∞, 4]

2. Kesişim (∩)

İki aralığın kesişimi, her iki aralıkta da bulunan ortak elemanları içerir. Örneğin:

• [1, 4] ∩ [3, 6] = [3, 4]
• (0, 2) ∩ [1, 3] = [1, 2)

3. Fark (-)

Bir aralığın diğerinden farkı, ilk aralıkta olup ikincisinde olmayan elemanları verir. Örneğin:

• [1, 5] - [3, 7] = [1, 3)
• (0, 4) - [2, 3] = (0, 2) ∪ (3, 4)

Matematiksel Gösterim

Aralık işlemlerini matematiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz:

• Birleşim: \( A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ veya } x \in B\} \)
• Kesişim: \( A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ ve } x \in B\} \)
• Fark: \( A - B = \{x \mid x \in A \text{ ve } x \notin B\} \)

Gerçek Sayı Aralıkları ve Sayı Aralıklarında İşlemler Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki sayı aralıklarının hangisinde \( \sqrt{5} \) sayısı bulunur?
a) \( (-\infty, 2) \)
b) \( [2, 3) \)
c) \( (2, 3] \)
d) \( [3, \infty) \)
Cevap: c) \( (2, 3] \)
Çözüm: \( \sqrt{5} \approx 2.236 \) olduğundan, bu sayı \( 2 < 2.236 \leq 3 \) aralığına denk gelir. Bu da \( (2, 3] \) ile ifade edilir.

Soru 2: \( A = [-1, 4) \) ve \( B = (2, 5] \) kümeleri veriliyor. \( A \cap B \) kesişim kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( (2, 4) \)
b) \( [2, 4] \)
c) \( [-1, 5] \)
d) \( (2, 4] \)
e) \( [-1, 2) \)
Cevap: a) \( (2, 4) \)
Çözüm: Kesişim kümesi, her iki aralıkta da ortak olan elemanları içerir. \( A \)'da 2 dahil değilken \( B \)'de 2 dahil değildir. 4 ise \( A \)'da dahil değil, \( B \)'de ise dahildir. Bu nedenle kesişim \( (2, 4) \) olur.

9. Sınıf Gerçek Sayı Aralıkları ve Sayı Aralıklarında İşlemler Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. \([-3, 5]\) aralığında bulunan en büyük tam sayı ______'dir.

2. \((2, \infty)\) aralığının kapalı hali ______ şeklinde gösterilir.

3. \((-\infty, 4) \cup [7, 10]\) aralığının ortak elemanı ______'dir.

Eşleştirme

• A. \([-1, 3)\)
• B. \((0, 5]\)
• C. \((-\infty, 2]\)

1. 0 dahil, 5 dahil

2. -1 dahil, 3 dahil değil

3. 2'ye kadar tüm sayılar

Doğru/Yanlış

1. \((3, 7) \cap [5, 9] = [5, 7)\) ( )

2. \([-2, \infty) \cup (-\infty, 1] = \mathbb{R}\) ( )

3. \(4 \in (-\infty, 4)\) ( )

Açık Uçlu

1. \([-3, 2) \cap (0, 4]\) aralığını liste yöntemiyle yazınız.

2. \((1, 5) \cup [3, 6]\) işleminin sonucunu aralık gösterimiyle belirtiniz.

Kısa Test

1. Hangisi \([-4, 0) \cap (-2, 3]\) aralığına eşittir?

a) \([-4, 3]\) b) \((-2, 0)\) c) \([0, 3]\)

2. \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\) kümesinin eşiti nedir?

a) \(\mathbb{R} \setminus (-1, 1)\) b) \(\mathbb{R} \setminus [-1, 1]\) c) \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

Cevaplar:

1: 5, 2: \([2, \infty)\), 3: Yoktur

1: B, 2: A, 3: C

1: D, 2: D, 3: Y

1: \(\{0, 1\}\), 2: \((1, 6]\)

1: b, 2: a